Resolução dos Problemas e Desafios - Edição 01

Problema I

Como organizar 10 moedas de modo a formar 5 filas retilíneas com 4 moedas em cada fila? Qual o número mínimo de moedas que precisamos acrescentar a essa organização das moedas de modo que cada uma das 5 filas passe a ter 6 moedas?

Dica (1): Uma moeda pode pertencer a mais de uma fila.; dica (2): Moedas podem ser empilhadas.

Solução

Perceba que para resolver este problema uma moeda deve pertencer a mais de uma reta e que as retas se cruzam, formando a figura abaixo.

Para atender ao segundo ponto foram empilhadas moedas nos respectivos pontos de cruzamento entre duas retas. 

Problema II

O dominó é um jogo bastante popular no Brasil que utiliza normalmente 28 peças em formato de paralelepípedo, cada uma contendo um par de números de 0 a 6 indicados pela quantidade de pontos em cada metade da face numerada da peça.

Essa é a versão mais utilizada do jogo e chamada de “duplo 6”, se resolvermos numerar cada peça com um par de números de 0 a 8, quantas peças deveria haver no jogo para apresentar todas as combinações na versão “duplo 8”?

Dica: conte  separadamente as peças com números iguais e as peças com números diferentes.

Solução

Usando a dica (I) Vamos primeiramente contar quantas peças números iguais que teríamos no duplo 8.

As peças seriam (0,0) (1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6,6) (7,7) e (8,8), totalizando 9 peças.

Pelo princípio multiplicativo teríamos 9x8=72 peças com números diferentes, mas nesse caso estaríamos contando cada peça duas vezes, sendo assim há 36 peças desse tipo.

Deste modo, há 36 peças diferentes + 9 peças iguais = 45 peças ao todo.

OBS: Um outro modo de contar as peças com números diferentes seria

Para o 0: 1,2,3,4,5,6,7,8  =8 peças

Para o 1: 2,3,4,5,6,7,8 =7 peças

Para o 2: 3,4,5,6,7,8=6 peças

Para 0 3: 4,5,6,7,8=5 peças

Para 0 4: 5,6,7,8=4peças

Para o 5: 6,7,8=3 peças

Para o 6: 7,8=2 peças

Para o 7: 8=1 peça

8+7+6+5+4+3+2+1= 36 peças diferentes

Desafio

Cadê o R$ 1,00?…

Carlos, Pedro e João foram comer em um restaurante e no final a conta deu R$30,00. Dividiram a conta entre si e cada um deu 10 R$. O garçom levou o dinheiro até o caixa e o dono do restaurante disse o seguinte: “Esses três são clientes antigos do restaurante, então vou devolver R$ 5,00 para eles!”. E entregou ao garçom cinco moedas de R$ 1,00.

O garçom, muito esperto, de imediato: pegou R$ 2,00 para ele e deu R$1,00 para cada um dos clientes. No final ficou assim:

Carlos: R$ 10,00 (– R$1,00 que foi devolvido) = gastou R$9,00.

Pedro : R$ 10,00 (– R$1,00 que foi devolvido) = gastou R$9,00.

João: R$ 10,00 (– R$1,00 que foi devolvido) =  gastou R$9,00.

Logo, se cada um deles gastaram R$ 9,00, o que os três gastaram juntos, foi R$ 27,00. E se o garçom pegou R$2,00 para ele, temos:

Clientes : R$27,00

Garçom: R$2,00

TOTAL: R$29,00

Onde foi parar o R$1,00?…

Solução

	SALDO INICIAL	RECEITAS	DESPESAS	SALDO FINAL
CLIENTES	30,00	------------	-27,00	3,00
EMPRESA	--------------------	25,00	------------	25,00
GARÇOM	--------------------	2,00	------------	2,00
TOTAL	30,00	------------	------------	30,00

Nenhum real desapareceu, o erro está em somar uma despesa com uma receita, considerando ambos como valores de mesma natureza.

Mande suas ideias de resoluções e confira o restante da programação da primeira edição do jornal da Matemática: Ideias & Padrões: Edição n1 Ideias_&_Padões.